近日，我校交叉科学研究院教授蒋仁进与纽约大学柯朗数学科学研究所教授林芳华合作完成的论文《Pólya猜想与Weyl律余项的定量估计》（ Pólya's Conjecture Up to ε-Loss and Quantitative Estimates for the Remainder of Weyl's Law） 在国际顶尖数学期刊《纯数学与应用数学通讯》（Communications on Pure and Applied Mathematics，简称“CPAM”）上正式发表。该成果围绕谱几何中的两个经典问题——Weyl律余项的定量估计与Pólya猜想——提出了新的分析框架，获得了一系列精细的谱估计结果。这是我校数学学科在前沿基础研究领域取得的又一重要进展。

该工作聚焦于两个核心难题。其一是Pólya猜想，由数学家乔治·波利亚（George Pólya）于1954年提出，试图建立比经典Weyl渐近公式更强的特征值不等式。七十余年来，该猜想仅在少数几种区域（如可铺砌区域）上得到证明，一般区域上的完整证明长期悬而未决。蒋仁进与林芳华提出了Pólya猜想的一个“ε-loss版本”，为最终解决完整猜想提供了新的路径。其二是Weyl律余项的定量控制。两位作者跳出传统方法，发展了一套不依赖于Neumann谱信息的几何逼近方法，对一般Lipschitz区域上的特征值计数函数给出显式的定量估计。该方法在处理复杂区域结构时具有明显优势，是谱分析工具的重要拓展。

在此基础上，两位作者进一步研究了一类“带型铺彻区域”的特殊区域，证明了在这些区域上Pólya猜想不仅成立，而且可以附带额外的负修正项。尤其特别的是，他们发现了三角形上的谱比Pólya预言具备更加更精细的估计，展示了不同几何形状对谱分布的深刻影响。此外，他们还进一步使用所发展的技术发现了若干新区域同样满足Pólya猜想，为理解谱的几何性质作出实质贡献。

蒋仁进现为交叉科学研究院教授、博士生导师，其主要研究方向为调和分析及其应用。蒋仁进此次在CPAM上发表高水平研究成果，是交叉科学研究院鼓励前沿探索、支持原创研究的集中体现，也标志着我校在分析及谱几何前沿领域的研究能力持续提升。